Hijo de Filomena de Francesco y José Alessio, Nicolás fue el mayor de cinco hermanos (lo siguieron Mario, Emilio, José y Luis), todos ellos avocados a la actividad musical. A los 4 años de edad inició su formación musical bajo la dirección de su padre, perfeccionándose luego con el profesor José De Nito.1​ Egresó en septiembre de 1939 del Profesorado Nacional de Música de la Escuela Normal N°2 Juan María Gutiérrez, obteniendo el primer lugar como estudiante.2​ Ferviente admirador de Alexander Brailowsky, adquirió su estilo añadiéndole características propias. Fueron sus autores predilectos en la música pura Antonio Vivaldi, Johann Sebastian Bach y Joseph Haydn. En la literatura pianística, exclusivamente Franz Listz y Frédéric Chopin. Profesionalmente, inició su carrera como concertista, celebrando su primera presentación a los 14 años de edad en la ciudad de Rosario. Se desempeñó como pianista y asesor musical (1938-1945) y como Director de la Orquesta "Achalay" (1944) de LT8 Radio Rosario. Asimismo, fue pianista de la Filarmónica de Rosario3​ y de la Biblioteca Bernardino Rivadavia.4​ Acompañó al piano a artistas y cantantes destacados como: Zlatko Topolsky (violinista), Elba ODuyer (soprano), Lita Sorribas de la Haye (soprano), Pedro Vidal (primer violín de la Escuela Municipal de Barcelona) y Josephine Baker (cantante). En 1946, en el Teatro "El Círculo" estrenó su Concierto para piano, en coautoría con su hermano Mario, dirigiendo él mismo a la Sinfónica de Rosario.5​ En 1947 integró el prestigioso trío de cuerdas "Alessio-Farruggia-Funoll", junto a Pedro Farruggia y Gustavo Funoll.

En 1941 comenzó su labor docente en el Nivel Medio como Profesor de Música del Liceo Avellaneda de la ciudad de Rosario, cargo que también ejerció en 1946 en la Escuela Nacional N°2 de Colonias Nacionales de Puerto Borghi, en 1948 en la Escuela Carcelaria N°3 de Rosario y en 1949 en el Colegio Nacional Cristo Rey de la misma ciudad.3​ A partir de 1946 impartió sus primeras clases en el Nivel Superior, como Profesor de Teoría y Solfeo y Piano en el Profesorado Normal de Música anexo a la Escuela Normal N°2 "Juan María Gutiérrez" de Rosario. Por fuera del área musical, se desempeñó como Profesor de Literatura (1942-1949) en el Colegio Nacional Cristo Rey y como Profesor de Moral y Maestro Interino de Enseñanza General en la Escuela Técnica N°1 de la Nación, ambas en la ciudad de Rosario.

El 24 de marzo de 1947, en la ciudad de Rosario, contrajo matrimonio con Orlanda M. Maldonado (Saladillo, 11 de mayo de 1925 - Córdoba, 3 de diciembre de 2015),7​ con quien tuvo tres hijos: Carlos Alberto (n. 1945), Beatriz Leonor (n. 1949) y Marta Noemí (n. 1955).

En 1951 se trasladó junto a su familia a la ciudad de Córdoba. En 1953 fue designado como Director y profesor de Historia, Estética y Acústica del Conservatorio Provincial de Música de Córdoba "Félix T. Garzón", cargos de los que fue violentamente despojado tras el golpe de Estado de 1955. Posteriormente, a partir de 1962 ejerció como docente de la entonces Escuela de Artes de la Universidad Nacional de Córdoba, en las cátedras de Armonía, Composición y Audioperceptiva y Piano. Difundió por Radio Nacional y LV2 sus programas Matices y Conversando sobre Música. En el Nivel Medio, impartió clases de música en el Colegio Santo Tomás, entre los años 1958 y 1960. Paralelamente, dictó clases de música y piano en su conservatorio particular, ubicado en barrio Observatorio. Falleció en la ciudad de Córdoba el 25 de agosto de 1985.